Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $20 x^{3} - 48 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 5.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 16 = 80$ und deren Summe gleich $b = - 24$ ist.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 u$ heraus.

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 24$ um als $- 4$ plus $- 20$

$5 u^{2} + (- 4 - 20) u + 16 = 0$

Schritt 5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 u^{2} - 4 u - 20 u + 16 = 0$

Schritt 5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 u^{2} - 4 u) - 20 u + 16 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (5 u - 4) - 4 (5 u - 4) = 0$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u - 4$ .

$(5 u - 4) (u - 4) = 0$

Schritt 5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 u - 4 = 0$

$u - 4 = 0$

Schritt 5.5

Setze $5 u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $5 u - 4$ gleich $0$ .

$5 u - 4 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $5 u - 4 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 u = 4$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{4}{5}$

Schritt 5.6

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 u - 4) (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{4}{5}, 4$

Schritt 5.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{4}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 5.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{4}{5}$

Schritt 5.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}$

Schritt 5.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{5}}$ .

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Schritt 5.10.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{5}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.10.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.10.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 5.10.2.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 5.10.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.10.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 5.10.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.10.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.10.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.10.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.10.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 5.10.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 5.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 4$

Schritt 5.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 5.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 5.12.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 5.12.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 5.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 5.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 5.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 5.13

Die Lösung von $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ ist $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$20 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$20 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$20 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$20 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$20 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.2.4

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 9.1.2.4.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$20 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.2.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$20 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$20 \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.2.6

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$5 (4) \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{40 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (40 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $40$ mit $4$ .

$\frac{160 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $160$ und $25$ .

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Schritt 9.1.7.1

Faktorisiere $5$ aus $160 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.8

Multipliziere $- 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 9.1.8.1

Kombiniere $- 48$ und $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Schritt 9.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 48$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 96 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{32 \sqrt{5} - 96 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $96 \sqrt{5}$ von $32 \sqrt{5}$ .

$\frac{- 64 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 10

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{5}$ als $\sqrt{5^{5}}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.2.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.2.4

Schreibe $3125$ als $25^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 11.2.1.2.4.1

Faktorisiere $625$ aus $3125$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.2.4.2

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.2.6

Mutltipliziere $32$ mit $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $800$ und $3125$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $800 \sqrt{5}$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.4.2.1

Faktorisiere $25$ aus $3125$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.6.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.6.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.6.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.6.4

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 11.2.1.6.4.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.6.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.6.6

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.7

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $125$ .

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Schritt 11.2.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $40 \sqrt{5}$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.9

Multipliziere $- 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

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Schritt 11.2.1.9.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.9.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 11.2.1.11

Multipliziere $16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

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Schritt 11.2.1.11.1

Kombiniere $16$ und $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{16 (2 \sqrt{5})}{5}$

Schritt 11.2.1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 11.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - (\frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 11.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 11.2.2.5

Stelle die Faktoren von $25 \cdot 5$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 11.2.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 11.2.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Schritt 11.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 64 \sqrt{5} \cdot 5 + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 64$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $32$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.2.5.1

Subtrahiere $320 \sqrt{5}$ von $32 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $- 288 \sqrt{5}$ und $800 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 13.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$20 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.3.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.3.4

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 13.1.3.4.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$20 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.3.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$20 (- \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.3.6

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 13.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{40 \sqrt{5}}{125}$ in den Zähler.

$20 \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.5.2

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$5 (4) \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.5.3

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.6

Kombiniere $4$ und $\frac{- 40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (- 40 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.7

Mutltipliziere $- 40$ mit $4$ .

$\frac{- 160 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 160$ und $25$ .

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Schritt 13.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $- 160 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 13.1.10

Multipliziere $- 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

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Schritt 13.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 13.1.10.2

Kombiniere $48$ und $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Schritt 13.1.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 13.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 32 \sqrt{5} + 96 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 13.2.2

Addiere $- 32 \sqrt{5}$ und $96 \sqrt{5}$ .

$\frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 14

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 15.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.3.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{5}$ als $\sqrt{5^{5}}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.3.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.3.4

Schreibe $3125$ als $25^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.3.4.1

Faktorisiere $625$ aus $3125$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.3.4.2

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.3.6

Mutltipliziere $32$ mit $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.4

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $800$ und $3125$ .

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Schritt 15.2.1.5.1

Faktorisiere $25$ aus $800 \sqrt{5}$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.5.2.1

Faktorisiere $25$ aus $3125$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 15.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.6.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1.8.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.8.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.8.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.8.4

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 15.2.1.8.4.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.8.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.8.6

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.9

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $125$ .

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Schritt 15.2.1.10.1

Faktorisiere $5$ aus $40 \sqrt{5}$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.11

Multipliziere $- 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25})$ .

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Schritt 15.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + 8 (\frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.11.2

Kombiniere $8$ und $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.11.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 15.2.1.12

Multipliziere $16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - 16 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 15.2.1.12.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 16 (2 \sqrt{5})}{5}$

Schritt 15.2.1.12.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 32 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 15.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 15.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 15.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 15.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 15.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - (\frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25})$

Schritt 15.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 15.2.2.5

Stelle die Faktoren von $25 \cdot 5$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 15.2.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 15.2.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Schritt 15.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 64 \sqrt{5} \cdot 5 - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Schritt 15.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $64$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Schritt 15.2.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $- 32$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 15.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 15.2.5.1

Addiere $- 32 \sqrt{5}$ und $320 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{288 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 15.2.5.2

Subtrahiere $800 \sqrt{5}$ von $288 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 512 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 15.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 15.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$20 \cdot 8 - 48 \cdot 2$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $8$ .

$160 - 48 \cdot 2$

Schritt 17.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $2$ .

$160 - 96$

Schritt 17.2

Subtrahiere $96$ von $160$ .

$64$

Schritt 18

$x = 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{5} - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (2) = 32 - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

Schritt 19.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = 32 - 8 \cdot 8 + 16 (2)$

Schritt 19.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$f (2) = 32 - 64 + 16 (2)$

Schritt 19.2.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$f (2) = 32 - 64 + 32$

Schritt 19.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 19.2.2.1

Subtrahiere $64$ von $32$ .

$f (2) = - 32 + 32$

Schritt 19.2.2.2

Addiere $- 32$ und $32$ .

$f (2) = 0$

Schritt 19.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 21.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$20 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2$

Schritt 21.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 8$ .

$- 160 - 48 \cdot - 2$

Schritt 21.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 2$ .

$- 160 + 96$

Schritt 21.2

Addiere $- 160$ und $96$ .

$- 64$

Schritt 22

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 23

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

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Schritt 23.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{5} - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

Schritt 23.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f (- 2) = - 32 - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

Schritt 23.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = - 32 - 8 \cdot - 8 + 16 (- 2)$

Schritt 23.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$f (- 2) = - 32 + 64 + 16 (- 2)$

Schritt 23.2.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 32 + 64 - 32$

Schritt 23.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 23.2.2.1

Addiere $- 32$ und $64$ .

$f (- 2) = 32 - 32$

Schritt 23.2.2.2

Subtrahiere $32$ von $32$ .

$f (- 2) = 0$

Schritt 23.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 24

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ .

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ ist ein lokales Maximum

$(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ ist ein lokales Minimum

$(2, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(- 2, 0)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 25