Analysis Beispiele

$f (x) = 1 - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.2.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ von $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.10

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.12

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Schritt 2.12.2

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.2.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 5.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{2}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{2}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1

Bringe ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.2

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (2) = - \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11