Analysis Beispiele

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

Schritt 1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4.3.3

Subtrahiere $\frac{5}{x^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4.3.4

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{5}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} - 24 x^{- 4}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 x^{- 4}$

Schritt 2.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.4.3.2

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Schritt 2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - \frac{24}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 4.1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 4.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 4.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 4.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 4.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 4.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 4.1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 4.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 4.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 4.1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.3.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.4.3.3

Subtrahiere $\frac{5}{x^{2}}$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.4.3.4

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Schritt 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 5.2.6

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 5.2.7

Die Teiler von $x^{3}$ sind $x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 5.2.8

Das kgV von $x^{2}, x^{3}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x$

Schritt 5.2.9

Vereinfache $x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Schritt 5.2.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.9.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.9.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Schritt 5.2.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1}$

Schritt 5.2.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ mit $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 5.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 x + 8 = 0 x^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{3}$ .

$- 5 x + 8 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x = - 8$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 8$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 8$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 5}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{8}{5}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3

Setze den Nenner in $\frac{8}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.4.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{8}{5}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{8}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{10}{{(\frac{8}{5})}^{3}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{5}$ an.

$\frac{10}{\frac{8^{3}}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{10}{\frac{512}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.1.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{10}{\frac{512}{125}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 (\frac{125}{512}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 (5) \frac{125}{512} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $512$ heraus.

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{125}{256}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{125}{256}$ .

$\frac{5 \cdot 125}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $125$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{5}$ an.

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{8^{4}}{5^{4}}}$

Schritt 9.1.6.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{5^{4}}}$

Schritt 9.1.6.3

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{625}}$

Schritt 9.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{625}{256} - (24 (\frac{625}{4096}))$

Schritt 9.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 9.1.8.1

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$\frac{625}{256} - (8 (3) \frac{625}{4096})$

Schritt 9.1.8.2

Faktorisiere $8$ aus $4096$ heraus.

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

Schritt 9.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

Schritt 9.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{625}{256} - (3 (\frac{625}{512}))$

Schritt 9.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{625}{512}$ .

$\frac{625}{256} - \frac{3 \cdot 625}{512}$

Schritt 9.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $625$ .

$\frac{625}{256} - \frac{1875}{512}$

Schritt 9.2

Um $\frac{625}{256}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{625}{256} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1875}{512}$

Schritt 9.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $512$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{625}{256}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{625 \cdot 2}{256 \cdot 2} - \frac{1875}{512}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $256$ mit $2$ .

$\frac{625 \cdot 2}{512} - \frac{1875}{512}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{625 \cdot 2 - 1875}{512}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $625$ mit $2$ .

$\frac{1250 - 1875}{512}$

Schritt 9.5.2

Subtrahiere $1875$ von $1250$ .

$\frac{- 625}{512}$

Schritt 9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{625}{512}$

Schritt 10

$x = \frac{8}{5}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{8}{5}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{8}{5}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{8}{5}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5}{\frac{8}{5}} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + 5 (\frac{5}{8}) - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Multipliziere $5 (\frac{5}{8})$ .

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Schritt 11.2.1.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{8}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5 \cdot 5}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{5}$ an.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{8^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{5^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{25}}$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{64}))$

Schritt 11.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 (16)}))$

Schritt 11.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 \cdot 16}))$

Schritt 11.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{25}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{25}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.2.6

Stelle die Faktoren von $8 \cdot 2$ um.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 8} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{16} - \frac{25}{16}$

Schritt 11.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 25 \cdot 2 - 25}{16}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 50 - 25}{16}$

Schritt 11.2.4.2

Addiere $16$ und $50$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{66 - 25}{16}$

Schritt 11.2.4.3

Subtrahiere $25$ von $66$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{41}{16}$

Schritt 11.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{41}{16}$ .

$y = \frac{41}{16}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$(\frac{8}{5}, \frac{41}{16})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13