Analysis Beispiele

$x^{\frac{4}{5}} {(x - 5)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 5) (x - 5))]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 5) - 5 (x - 5))]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)]$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 10 x + 25)]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ und $g (x) = x^{2} - 10 x + 25$ .

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25] + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 10 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5.3

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5.6

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 + 0) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5.7

Addiere $2 x - 10$ und $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Schritt 1.1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 1.1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.1.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Schritt 1.1.9.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Schritt 1.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.11

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Schritt 1.1.12

Bringe $x^{- \frac{1}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1

Multipliziere $x^{\frac{4}{5}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{4}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.1.5

Addiere $5$ und $4$ .

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{9}{5}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.3

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.6

Bringe $x^{\frac{1}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.7.1

Bewege $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.7.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.7.4

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.7.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.7.6.2

Addiere $- 1$ und $10$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.8

Kombiniere $- 10$ und $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 10 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.9

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 40}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.10

Kombiniere $x$ und $\frac{- 40}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 40}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.11

Bringe $- 40$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.12

Bringe $x^{\frac{1}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.13

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.13.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{5}}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.13.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.13.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.13.5

Addiere $- 1$ und $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.14

Faktorisiere $5$ aus $- 40 x^{\frac{4}{5}}$ heraus.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.15.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5 (1)} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.15.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 8 x^{\frac{4}{5}}}{1} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.15.4

Dividiere $- 8 x^{\frac{4}{5}}$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.16

Kombiniere $25$ und $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{25 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.17

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{100}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.18

Faktorisiere $5$ aus $100$ heraus.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.19.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{\frac{1}{5}}$ heraus.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 (x^{\frac{1}{5}})}$

Schritt 1.1.13.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.20

Um $2 x^{\frac{9}{5}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.21

Kombiniere $2 x^{\frac{9}{5}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.23

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.24

Addiere $10 x^{\frac{9}{5}}$ und $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.13.3.25

Subtrahiere $8 x^{\frac{4}{5}}$ von $- 10 x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = - 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 5, x^{\frac{1}{5}}, 1$

Schritt 2.2.2

Da $1, 5, x^{\frac{1}{5}}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 5, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{1}{5}}$ .

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.5

Da $5$ keine Teiler außer $1$ und $5$ hat.

$5$ ist eine Primzahl

Schritt 2.2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.7

Das kgV von $1, 5, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$5$

Schritt 2.2.8

Das kgV von $x^{\frac{1}{5}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{5}}$

Schritt 2.2.9

Das kgV von $1, 5, x^{\frac{1}{5}}, 1$ ist der numerische Teil $5$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$ mit $5 x^{\frac{1}{5}}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$ mit $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{5}} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $x^{\frac{4}{5}}$ mit $x^{\frac{1}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 18 \cdot 5 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{1 + 4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{5}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.2.5

Dividiere $5$ durch $5$ .

$- 18 \cdot 5 x^{1} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.3

Vereinfache $- 18 \cdot 5 x^{1}$ .

$- 18 \cdot 5 x + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $5$ .

$- 90 x + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 90 x + 5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 90 x + 5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- 90 x + 14 x^{\frac{9}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.7

Multipliziere $x^{\frac{9}{5}}$ mit $x^{\frac{1}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.7.1

Bewege $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 90 x + 14 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{9}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 90 x + 14 x^{\frac{1}{5} + \frac{9}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 90 x + 14 x^{\frac{1 + 9}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.7.4

Addiere $1$ und $9$ .

$- 90 x + 14 x^{\frac{10}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.7.5

Dividiere $10$ durch $5$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 90 x + 14 x^{2} + 5 \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.9

Multipliziere $5 \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.9.1

Kombiniere $5$ und $\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{5 \cdot 20}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.9.2

Mutltipliziere $5$ mit $20$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{100}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{100}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.2.1.10.2

Forme den Ausdruck um.

$- 90 x + 14 x^{2} + 100 = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + 100 = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + 100 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$- 90 u + 14 u^{2} + 100 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 90 u + 14 u^{2} + 100$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 90 u$ heraus.

$2 (- 45 u) + 14 u^{2} + 100 = 0$

Schritt 2.4.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $14 u^{2}$ heraus.

$2 (- 45 u) + 2 (7 u^{2}) + 100 = 0$

Schritt 2.4.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$2 (- 45 u) + 2 (7 u^{2}) + 2 (50) = 0$

Schritt 2.4.1.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 45 u) + 2 (7 u^{2})$ heraus.

$2 (- 45 u + 7 u^{2}) + 2 (50) = 0$

Schritt 2.4.1.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 45 u + 7 u^{2}) + 2 (50)$ heraus.

$2 (- 45 u + 7 u^{2} + 50) = 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.3.1.1

Stelle die Terme um.

$2 (7 u^{2} - 45 u + 50) = 0$

Schritt 2.4.1.3.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot 50 = 350$ und deren Summe gleich $b = - 45$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.3.1.2.1

Faktorisiere $- 45$ aus $- 45 u$ heraus.

$2 (7 u^{2} - 45 u + 50) = 0$

Schritt 2.4.1.3.1.2.2

Schreibe $- 45$ um als $- 10$ plus $- 35$

$2 (7 u^{2} + (- 10 - 35) u + 50) = 0$

Schritt 2.4.1.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (7 u^{2} - 10 u - 35 u + 50) = 0$

Schritt 2.4.1.3.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.3.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((7 u^{2} - 10 u) - 35 u + 50) = 0$

Schritt 2.4.1.3.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (u (7 u - 10) - 5 (7 u - 10)) = 0$

Schritt 2.4.1.3.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 u - 10$ .

$2 ((7 u - 10) (u - 5)) = 0$

Schritt 2.4.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (7 u - 10) (u - 5) = 0$

Schritt 2.4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 (7 x - 10) (x - 5) = 0$

Schritt 2.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x - 10 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.3

Setze $7 x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Setze $7 x - 10$ gleich $0$ .

$7 x - 10 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Löse $7 x - 10 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 10$

Schritt 2.4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 10$ durch $7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 10$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{10}{7}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{10}{7}$

Schritt 2.4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{7}$

Schritt 2.4.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (7 x - 10) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{10}{7}, 5$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 3.1.3

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{20}{\sqrt[5]{x^{1}}}$

Schritt 3.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{20}{\sqrt[5]{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{20}{\sqrt[5]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[5]{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${\sqrt[5]{x}}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x^{\frac{4}{5}} {(x - 5)}^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{10}{7}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{10}{7}$ .

${(\frac{10}{7})}^{\frac{4}{5}} {((\frac{10}{7}) - 5)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{10}{7}$ an.

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {((\frac{10}{7}) - 5)}^{2}$

Schritt 4.1.2.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{10}{7} - 5 \cdot \frac{7}{7})}^{2}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{10}{7} + \frac{- 5 \cdot 7}{7})}^{2}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{10 - 5 \cdot 7}{7})}^{2}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{10 - 35}{7})}^{2}$

Schritt 4.1.2.5.2

Subtrahiere $35$ von $10$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{- 25}{7})}^{2}$

Schritt 4.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(- \frac{25}{7})}^{2}$

Schritt 4.1.2.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{25}{7}$ an.

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} ({(- 1)}^{2} {(\frac{25}{7})}^{2})$

Schritt 4.1.2.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{25}{7}$ an.

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} ({(- 1)}^{2} \frac{25^{2}}{7^{2}})$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.8.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} (1 \frac{25^{2}}{7^{2}})$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $\frac{25^{2}}{7^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{25^{2}}{7^{2}}$

Schritt 4.1.2.9

Kombinieren.

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 7^{2}}$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $7^{\frac{4}{5}}$ mit $7^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.10.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2}}$

Schritt 4.1.2.10.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Schritt 4.1.2.10.3

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Schritt 4.1.2.10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Schritt 4.1.2.10.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.10.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4 + 10}{5}}}$

Schritt 4.1.2.10.5.2

Addiere $4$ und $10$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Schritt 4.1.2.11

Potenziere $25$ mit $2$ .

$\frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 625}{7^{\frac{14}{5}}}$

Schritt 4.1.2.12

Bringe $625$ auf die linke Seite von $10^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{625 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

${(5)}^{\frac{4}{5}} {((5) - 5)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$5^{\frac{4}{5}} \cdot 0^{2}$

Schritt 4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5^{\frac{4}{5}} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $5^{\frac{4}{5}}$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{4}{5}} {((0) - 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

${(0^{5})}^{\frac{4}{5}} {((0) - 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{4}{5})} {((0) - 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{5 (\frac{4}{5})} {((0) - 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{4} {((0) - 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 {((0) - 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.3.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$0 {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.3.3

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$0 \cdot 25$

Schritt 4.3.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $25$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(\frac{10}{7}, \frac{625 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}), (5, 0), (0, 0)$

Schritt 5