Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{2}}{x - 2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 - 2}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{0}{- 2}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16}{4 - 2}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{16}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Dividiere $16$ durch $2$ .

$8$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{{(2)}^{2}}{0}$

Schritt 4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (4, 8)$

Schritt 5