Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} + 32 x + 432$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 32 x + 432$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [432]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [432]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [432]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [432]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [432]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 32 + \frac{d}{d x} [432]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $432$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $432$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 32 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $3 x^{2} + 32$ und $0$ .

$3 x^{2} + 32$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 32$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} + 32 = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6