Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[6, 16]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = x + \frac{96}{x}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{96}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[6, 16]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Schritt 7

Da $96$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $96$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $16$ und $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Schritt 9.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $16$ und $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $2$ .

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Schritt 9.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $256$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.3.2.4

Dividiere $128$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.5

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.6

Kombiniere $- 36$ und $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 9.1.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.7.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.1.3.8

Subtrahiere $18$ von $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Schritt 9.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $16$ ist $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

Schritt 9.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $6$ ist $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $6$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Schritt 10

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Vereinfache $96 \ln (\frac{8}{3})$ , indem du $96$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

Schritt 11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $10$ aus $110$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Schritt 12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Schritt 13

Vereinfache $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ , indem du $\frac{1}{10}$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8^{96}}{3^{96}}$ an.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Schritt 14.2

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

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Schritt 14.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Schritt 14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $96$ heraus.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Schritt 14.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Schritt 14.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Schritt 14.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Schritt 14.2.3

Kombiniere $48$ und $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Schritt 14.3

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

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Schritt 14.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

Schritt 14.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $96$ heraus.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

Schritt 14.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Schritt 14.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Schritt 14.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

Schritt 14.3.3

Kombiniere $48$ und $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

Schritt 15