Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2 u$ aus $56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $2 u$ aus $56 u$ heraus.

$2 u (28) - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $2 u$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$2 u (28) + 2 u (- u) - 4 u^{3} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $2 u$ aus $- 4 u^{3}$ heraus.

$2 u (28) + 2 u (- u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (28) + 2 u (- u)$ heraus.

$2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2})$ heraus.

$2 u (28 - u - 2 u^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1.1

Stelle die Terme um.

$2 u (- 2 u^{2} - u + 28) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 28 = - 56$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$2 u (- 2 u^{2} - (u) + 28) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $7$ plus $- 8$

$2 u (- 2 u^{2} + (7 - 8) u + 28) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u (- 2 u^{2} + 7 u - 8 u + 28) = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 u ((- 2 u^{2} + 7 u) - 8 u + 28) = 0$

Schritt 2.1.3.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 u (u (- 2 u + 7) + 4 (- 2 u + 7)) = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 u + 7$ .

$2 u ((- 2 u + 7) (u + 4)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 u (- 2 u + 7) (u + 4) = 0$

Schritt 2.1.4

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$- 2 x + 7 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $- 2 x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- 2 x + 7$ gleich $0$ .

$- 2 x + 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- 2 x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 7$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 7$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 7$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{7}{2}, - 4$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty), {x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Wertebereich: $(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty), {y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Schritt 6