Analysis Beispiele

$y = x - \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x - \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x - \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x} + 1$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 5.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Schritt 5.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x} + 1$ .

$- \frac{1}{x} + 1$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = - 1$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = - 1$ mit $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Schritt 6.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x = - 1$ um.

$- x = - 1$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1}$

Schritt 10.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 11

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) - \ln (1)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 1 - 0$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (1) = 1$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x - \ln (x)$ .

$(1, 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14