Analysis Beispiele

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = \sin (x) + \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 10

Separiere Brüche.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 11

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 12

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 13

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Schritt 14

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 15

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 15.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 15.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 15.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 15.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 16

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 17

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 18

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 19

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 19.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 19.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 19.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 19.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 19.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 19.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 20

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 22.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 22.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 22.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 22.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 22.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 22.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 22.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 22.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 22.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2}$

Schritt 23

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 24.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 24.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Schritt 24.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 25

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 26.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 26.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.1.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 26.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 26.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 26.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 26.1.6

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 26.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 26.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 26.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 26.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 26.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 26.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 26.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 26.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 27

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 28

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 28.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 28.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 28.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 28.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 28.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 28.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 28.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 28.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 28.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 28.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 28.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 28.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 28.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 28.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 28.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 28.2.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Schritt 28.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Schritt 29

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 30