Analysis Beispiele

$y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.11

Addiere $1$ und $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.13

Mutltipliziere $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.14

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.15

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.16

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.17

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.18.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

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Schritt 2.6.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 2.6.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Schritt 2.6.8

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.7.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Schritt 2.7.3

Stelle die Terme um.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.12.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.14

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.17

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.18

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.19

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.20

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.20.1

Bewege ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.20.4

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.22

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Schritt 5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Schritt 5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Schritt 5.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 5.1.5.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 5.1.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.11

Addiere $1$ und $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.13

Mutltipliziere $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.14

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.15

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.16

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.17

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.5.18.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

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Schritt 5.1.6.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 5.1.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5.1.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5.1.6.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5.1.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5.1.6.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 5.1.6.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Schritt 5.1.6.8

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Schritt 5.1.7

Vereinfache.

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Schritt 5.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 5.1.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 5.1.7.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Schritt 5.1.7.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Schritt 6.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 0, 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 1 = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, 2, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 10.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 10.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

Schritt 10.1.1.5

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Schritt 10.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 10.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $4$ von $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Schritt 10.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{3}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

Schritt 12.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (0) = 6 - 2$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$f (0) = 4$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Schritt 14.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 14.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Schritt 14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Schritt 14.5.2

Subtrahiere $4$ von $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Schritt 14.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{3}$

Schritt 15

$x = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

Schritt 16.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

Schritt 16.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (2) = 6 - 2$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$f (2) = 4$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 18.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 18.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 18.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 18.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

Schritt 18.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 18.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

Schritt 18.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- 4 - \frac{4}{0}$

Schritt 18.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 4 - \frac{4}{0}$

Schritt 18.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 19

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 19.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 19.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 19.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.2.2.2

Addiere $8$ und $4$ .

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 19.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 19.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.5$ , aus dem Intervall $(0, 1)$ in die erste Ableitung $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 19.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.5$ .

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.3.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 19.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 19.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $1.5$ , aus dem Intervall $(1, 2)$ in die erste Ableitung $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 19.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.5$ .

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 19.4.2.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.4.2.1.2.2

Potenziere $0.5$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

Schritt 19.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $0.79370052$ .

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

Schritt 19.4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 19.4.2.2.1

Addiere $- 6$ und $5.03968419$ .

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

Schritt 19.4.2.2.2

Addiere $- 0.9603158$ und $4$ .

$f' (1.5) = 3.03968419$

Schritt 19.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $3.03968419$ .

$3.03968419$

Schritt 19.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 19.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.5.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

Schritt 19.5.2.2

Addiere $- 16$ und $4$ .

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 19.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 19.6

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 19.7

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Minimum.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19.8

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Maximum.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 19.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ .

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20