Analysis Beispiele

$y = x^{4} e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{4} e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ um.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4} e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.2

$f'' (x) = - (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3} e^{- x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x})$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{4} (e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 (e^{- x} (x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 (e^{- x} (x^{2}))$

Schritt 3.4.3.6

Subtrahiere $4 x^{3} e^{- x}$ von $- 4 e^{- x} x^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.6.1

Bewege $e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Schritt 3.4.3.6.2

Subtrahiere $4 x^{3} e^{- x}$ von $- 4 x^{3} e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

Schritt 3.4.5

Stelle die Faktoren in $e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ um.

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 5.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ um.

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{3} e^{- x}$ aus $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{3} e^{- x}$ aus $- x^{4} e^{- x}$ heraus.

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{3} e^{- x}$ aus $4 x^{3} e^{- x}$ heraus.

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{3} e^{- x}$ aus $x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ heraus.

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 6.5.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.5.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.6

Setze $- x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $- x + 4$ gleich $0$ .

$- x + 4 = 0$

Schritt 6.6.2

Löse $- x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 6.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(0)}^{4} e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 e^{0} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.9

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Schritt 10.1.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{- (0)}$

Schritt 10.1.11

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Schritt 10.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Schritt 10.1.13

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Schritt 10.1.14

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (16 e^{- (- 2)}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Schritt 11.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Schritt 11.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Schritt 11.2.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 \cdot (- 8 e^{- (- 2)})$

Schritt 11.2.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{- (- 2)}$

Schritt 11.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{2}$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $32 e^{2}$ von $- 16 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 48 e^{2}$

Schritt 11.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 48 e^{2}$ .

$- 48 e^{2}$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, 4)$ in die erste Ableitung $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2.1.5

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

Schritt 11.3.2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

Schritt 11.3.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

Schritt 11.3.2.1.10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

Schritt 11.3.2.1.11

Kombiniere $32$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

Schritt 11.3.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

Schritt 11.3.2.2.2

Addiere $- 16$ und $32$ .

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

Schritt 11.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Schritt 11.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die erste Ableitung $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = - {(6)}^{4} e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f' (6) = - 1 \cdot (1296 e^{- (6)}) + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1296$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- 6} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - 1296 \frac{1}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2.1.5

Kombiniere $- 1296$ und $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{- 1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2.1.7

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (216 e^{- (6)})$

Schritt 11.4.2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $216$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- (6)}$

Schritt 11.4.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- 6}$

Schritt 11.4.2.1.10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 (\frac{1}{e^{6}})$

Schritt 11.4.2.1.11

Kombiniere $864$ und $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + \frac{864}{e^{6}}$

Schritt 11.4.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (6) = \frac{- 1296 + 864}{e^{6}}$

Schritt 11.4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.2.2.1

Addiere $- 1296$ und $864$ .

$f' (6) = \frac{- 432}{e^{6}}$

Schritt 11.4.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (6) = - \frac{432}{e^{6}}$

Schritt 11.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{432}{e^{6}}$ .

$- \frac{432}{e^{6}}$

Schritt 11.5

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11.6

Da die erste Ableitung um $x = 4$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 4$ ein lokales Maximum.

$x = 4$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} e^{- x}$ .

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 4$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 4$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12