Analysis Beispiele

$y = x^{3} - x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} - x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} - x^{2}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - (2 x)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 2 x = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x (3 x) - 2 x = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$x (3 x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot - 2$ heraus.

$x (3 x - 2) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 6.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (0) - 2$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 - 2$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{2}{3} - 2$

Schritt 14.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3} - 2$

Schritt 14.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2 - 2$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 - 2$

Schritt 14.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$2$

Schritt 15

$x = \frac{2}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2}{3}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2^{3}}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 16.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 16.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Schritt 16.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{3^{2}}$

Schritt 16.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9}$

Schritt 16.2.2

Um $- \frac{4}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 16.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Schritt 16.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27}$

Schritt 16.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 4 \cdot 3}{27}$

Schritt 16.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 12}{27}$

Schritt 16.2.5.2

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4}{27}$

Schritt 16.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{27}$

Schritt 16.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4}{27}$ .

$y = - \frac{4}{27}$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{2}{3}, - \frac{4}{27})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18