Analysis Beispiele

$x + \sqrt{1 - x}$

Schritt 1

Schreibe $x + \sqrt{1 - x}$ als Funktion.

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt{1 - x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Schritt 2.2.13

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Schritt 2.2.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.2.15

Kombiniere $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Schritt 2.2.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.2.17

Schreibe $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ als $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.2.18

Bringe ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Schritt 3.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Schritt 3.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x))))$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.9

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))))$

Schritt 3.2.16

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1))$

Schritt 3.2.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1))$

Schritt 3.2.18

Kombiniere $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2})$

Schritt 3.2.19

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.20

Schreibe $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ als $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.21

Bringe ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.2.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Schritt 3.2.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (1 {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Schritt 3.2.24

Mutltipliziere ${(1 - x)}^{- 1}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Schritt 3.2.25

Kombiniere ${(1 - x)}^{- 1}$ und $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 - x)}^{- 1}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2.26

Bringe ${(1 - x)}^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 3.2.27

Multipliziere ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 - x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.27.1

Bewege $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 3.2.27.2

Mutltipliziere $1 - x$ mit ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.27.2.1

Potenziere $1 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 3.2.27.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2.27.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2.27.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 3.2.27.5

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.28

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.2.29

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $\frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt{1 - x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 5.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 5.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 5.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Schritt 5.1.2.13

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Schritt 5.1.2.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Schritt 5.1.2.15

Kombiniere $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Schritt 5.1.2.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.2.17

Schreibe $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ als $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.2.18

Bringe ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.2.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 1 = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ um.

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.1.1

Vereinfache ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - x)}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$1 - x = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$1 - x = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6.5.4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - x = \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 6.5.4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 - x = \frac{1}{4}$

Schritt 6.5.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.5.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = \frac{1}{4} - 1$

Schritt 6.5.5.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.5.5.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 6.5.5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 6.5.5.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.5.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- x = \frac{1 - 4}{4}$

Schritt 6.5.5.1.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.5.5.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x = - \frac{3}{4}$

Schritt 6.5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{3}{4}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{3}{4}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 6.5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 6.5.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 6.5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Schritt 6.5.5.2.3.2

Dividiere $\frac{3}{4}$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{{(1 - x)}^{1}}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{1 - x} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{1 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(1 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (1 - x) = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 7.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 - 4 x = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 - 4 x = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 4$

Schritt 7.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 7.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 7.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 7.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$x = 1$

Schritt 7.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 - x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x < 0$

Schritt 7.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < - 1$

Schritt 7.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x > 1$

Schritt 7.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{3}{4}, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{1}{4 {(1 - (\frac{3}{4}))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4 - 3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 10.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 10.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 10.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 10.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 10.1.6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{3}}}$

Schritt 10.1.6.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 10.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 10.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 10.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 2)$

Schritt 10.4

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 11

$x = \frac{3}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3}{4}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) + \sqrt{1 - (\frac{3}{4})}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Schritt 12.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4 - 3}{4}}$

Schritt 12.2.1.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 12.2.1.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 12.2.1.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 12.2.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 12.2.1.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 12.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 + 2}{4}$

Schritt 12.2.5

Addiere $3$ und $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{1}{4 {(1 - (1))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{1}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 16