Analysis Beispiele

$y = e^{2 x} - e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $y = e^{2 x} - e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{2 x} - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

Schritt 6.2.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$u (2 u) - u = 0$

Schritt 6.2.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.2.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (2 u - 1) = 0$

Schritt 6.2.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 6.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.5

Setze $2 e^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $2 e^{x} - 1$ gleich $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $2 e^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 e^{x} = 1$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{x} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{x} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2.2.1.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 6.5.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.5.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 6.5.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 6.5.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \ln (\frac{1}{2})$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.7

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$1 - \frac{1}{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1}{2}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (\frac{1}{2})$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Vereinfache $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2.1.6

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 12.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

Schritt 12.2.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 12.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

Schritt 12.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14