Analysis Beispiele

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 \sin (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $4 \cos (2 x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (2 x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (2 x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 10.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 10.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 10.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 10.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 10.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 10.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 11

Die Lösung der Gleichung $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{12}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Schritt 13.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Schritt 13.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

Schritt 13.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \sqrt{3}$

Schritt 14

$x = \frac{π}{12}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{12}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{12}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Schritt 15.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Schritt 15.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Schritt 15.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{12}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Schritt 17.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Schritt 17.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

Schritt 17.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Schritt 17.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 17.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Schritt 17.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Schritt 18

$x = \frac{5 π}{12}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{12}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{12}$ .

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Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Schritt 19.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Schritt 19.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Schritt 19.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Schritt 19.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 19.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21