Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 \cos (2 x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (0)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 9.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 12.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 13

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Schritt 14.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Schritt 14.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 14.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Schritt 14.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Schritt 16.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 16.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 16.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16.4

Multipliziere $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4$

Schritt 17

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 18.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Schritt 18.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Schritt 18.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Schritt 18.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 18.2.2

$f (\frac{3 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 18.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Schritt 18.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

Schritt 18.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 19

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, 1)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 π}{4}, - 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20