Analysis Beispiele

$f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 1.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 1.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 1.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Schritt 1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Schritt 1.6.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.8

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 x^{- 5} + 0$

Schritt 2.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Schritt 2.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Schritt 2.5.3.3

Kombiniere $24$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.5.3.4

Addiere $- \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 4.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 4.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 4.1.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 4.1.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 4.1.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 4.1.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Schritt 4.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Schritt 4.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.6.1.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Schritt 4.1.6.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 4.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, x^{4}, 1, 1$

Schritt 5.2.2

Since $x^{2}, x^{4}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{4}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 5.2.6

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 5.2.7

Die Teiler von $x^{4}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 5.2.8

Das kgV von $x^{2}, x^{4}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 5.2.9

Vereinfache $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Schritt 5.2.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.9.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.9.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Schritt 5.2.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Schritt 5.2.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Schritt 5.2.9.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.9.3.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.9.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Schritt 5.2.9.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1}$

Schritt 5.2.9.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ mit $x^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ mit $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{x^{4}}$ in den Zähler.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 6 + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{4}$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + u - 6 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $u^{2} + u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 5.4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Schritt 5.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 3 = 0$

Schritt 5.4.4

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.4.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 5.4.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 5.4.5

Setze $u + 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.5.1

Setze $u + 3$ gleich $0$ .

$u + 3 = 0$

Schritt 5.4.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 3$

Schritt 5.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 2) (u + 3) = 0$ wahr machen.

$u = 2, - 3$

Schritt 5.4.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 2$

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Schritt 5.4.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 2$

Schritt 5.4.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.4.9.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.9.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 5.4.9.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 5.4.9.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 5.4.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Schritt 5.4.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 3$

Schritt 5.4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 5.4.11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 5.4.11.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 5.4.11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 5.4.11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.12

Die Lösung von $x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ ist $x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3

Setze den Nenner in $\frac{6}{x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} = 0$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 6.4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 6.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.4.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$- \frac{2}{\sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{2}{\sqrt{8}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.1.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{2}{\sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 9.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.5.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{2^{5}}}$

Schritt 9.1.5.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{32}}$

Schritt 9.1.5.3

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.5.3.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{16 (2)}}$

Schritt 9.1.5.3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.1.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $4$ .

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Schritt 9.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (\sqrt{2})}$

Schritt 9.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.1.7

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.1.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.8.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.8.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 9.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.1.8.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.1.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.1.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.1.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.1.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 9.1.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 9.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 9.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 9.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 9.1.9.2.4

Dividiere $3 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2}$

Schritt 9.2

Um $3 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $3 \sqrt{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.4.2

Addiere $- \sqrt{2}$ und $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{3}}}$

Schritt 11.2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{8}}$

Schritt 11.2.1.3.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 11.2.1.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 11.2.1.3.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.2.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 11.2.1.6.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.2.1.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.1.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.1.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.1.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.2.1.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $- \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + 0$

Schritt 11.2.2.3.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$- \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{8}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.1.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2}{- 1 \cdot 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2$ .

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Schritt 13.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 13.1.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.6

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Schritt 13.1.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}}$

Schritt 13.1.7.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- {\sqrt{2}}^{5}}$

Schritt 13.1.7.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{2^{5}}}$

Schritt 13.1.7.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{32}}$

Schritt 13.1.7.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.7.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{16 (2)}}$

Schritt 13.1.7.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.1.7.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 1 \cdot 4 \sqrt{2}}$

Schritt 13.1.7.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 4 \sqrt{2}}$

Schritt 13.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $- 4$ .

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Schritt 13.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{- 4 \sqrt{2}}$

Schritt 13.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{4 (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{- \sqrt{2}}$

Schritt 13.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{\sqrt{2}}$

Schritt 13.1.10

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 13.1.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1.11.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 13.1.11.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 13.1.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 13.1.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 13.1.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 13.1.11.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.1.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.1.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.1.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.1.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.1.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 13.1.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13.1.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 13.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 13.1.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 13.1.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.1.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 13.1.12.2.4

Dividiere $3 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (3 \sqrt{2})$

Schritt 13.1.13

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2}$

Schritt 13.2

Um $- 3 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 13.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.3.1

Kombiniere $- 3 \sqrt{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 13.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{\sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13.4.2

Subtrahiere $6 \sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 14

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) - \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 15.2.1.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 15.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Schritt 15.2.1.5.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}}$

Schritt 15.2.1.5.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}}$

Schritt 15.2.1.5.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{8}}$

Schritt 15.2.1.5.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 15.2.1.5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 15.2.1.5.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.2.1.5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Schritt 15.2.1.5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 2 \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2$ .

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Schritt 15.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 15.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 15.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 15.2.1.7.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 15.2.1.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 15.2.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 15.2.1.9.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.2.1.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 15.2.1.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.2.1.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.1.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.1.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 15.2.1.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 15.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 0$

Schritt 15.2.2.3.2

Addiere $- \sqrt{2}$ und $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2}$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ .

$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ist ein lokales Minimum

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17