Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$1 + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$1 + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $32$ .

$1 - 64 x^{- 3}$

Schritt 1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1.1

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Schritt 1.4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{64}{x^{3}}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{64}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $192$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{192}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 4.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 4.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 4.1.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 4.1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 4.1.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Schritt 4.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.1.1

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Schritt 4.1.4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ mit $x^{3}$ .

$- \frac{64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{64}{x^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 64 = - x^{3}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{3} = - 64$ um.

$- x^{3} = - 64$

Schritt 5.5.2

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} + 64 = 0$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} + 64$ heraus.

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Schritt 5.5.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) + 64 = 0$

Schritt 5.5.3.1.2

Schreibe $64$ als $- 1 (- 64)$ um.

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

Schritt 5.5.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ heraus.

$- (x^{3} - 64) = 0$

Schritt 5.5.3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Schritt 5.5.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 5.5.3.4.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Schritt 5.5.3.4.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Schritt 5.5.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Schritt 5.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Schritt 5.5.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.5.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5.5.6

Setze $x^{2} + 4 x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.6.1

Setze $x^{2} + 4 x + 16$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Schritt 5.5.6.2

Löse $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.6.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 5.5.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.6.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 5.5.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.6.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 5.5.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 5.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{64}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{192}{{(4)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{192}{256}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $192$ und $256$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$\frac{64 (3)}{256}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $64$ aus $256$ heraus.

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4}$

Schritt 10

$x = 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = (4) + \frac{32}{{(4)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 4 + \frac{32}{16}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $32$ durch $16$ .

$f (4) = 4 + 2$

Schritt 11.2.2

Addiere $4$ und $2$ .

$f (4) = 6$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$ .

$(4, 6)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13