Analysis Beispiele

$f (x) = 9 x^{5} - 2 x^{3} - x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{5} - 2 x^{3} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$45 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$45 x^{4} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [45 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (45 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [45 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $45 x^{4}$ nach $x$ gleich $45 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 45 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 45 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $45$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 12 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $180 x^{3} - 12 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 12 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{5} - 2 x^{3} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{5}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$45 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$45 x^{4} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$45 u^{2} - 6 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 5.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.4

Setze die Werte $a = 45$ , $b = - 6$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot - 1)}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 45 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 45 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 180 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $- 1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 180}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5.1.3

Addiere $36$ und $180$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5.1.4

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 5.5.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{15}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 45 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 45 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 180 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $- 1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 180}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.6.1.3

Addiere $36$ und $180$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 5.6.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.6.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{15}$

Schritt 5.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{1 + \sqrt{6}}{15}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 45 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 45 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 180 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $- 1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 180}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.7.1.3

Addiere $36$ und $180$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.7.1.4

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 5.7.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.7.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 45}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{15}$

Schritt 5.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{1 - \sqrt{6}}{15}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{6}}{15}, \frac{1 - \sqrt{6}}{15}$

Schritt 5.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0.22996598$

${(x^{2})}^{1} = - 0.09663264$

Schritt 5.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0.22996598$

Schritt 5.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.11.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0.22996598}$

Schritt 5.11.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.11.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.22996598}$

Schritt 5.11.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.22996598}$

Schritt 5.11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}$

Schritt 5.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 0.09663264$

Schritt 5.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 0.09663264$

Schritt 5.13.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 0.09663264}$

Schritt 5.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 0.09663264}$ .

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Schritt 5.13.3.1

Schreibe $- 0.09663264$ als $- 1 (0.09663264)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.09663264)}$

Schritt 5.13.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (0.09663264)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.09663264}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.09663264}$

Schritt 5.13.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{0.09663264}$

Schritt 5.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{0.09663264}$

Schritt 5.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{0.09663264}$

Schritt 5.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{0.09663264}, - i \sqrt{0.09663264}$

Schritt 5.14

Die Lösung von $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$ ist $x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}, i \sqrt{0.09663264}, - i \sqrt{0.09663264}$ .

$x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}, i \sqrt{0.09663264}, - i \sqrt{0.09663264}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{0.22996598}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$180 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - 12 \sqrt{0.22996598}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Schreibe ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ als $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ um.

$180 \sqrt{{0.22996598}^{3}} - 12 \sqrt{0.22996598}$

Schritt 9.2

Potenziere $0.22996598$ mit $3$ .

$180 \sqrt{0.0121616} - 12 \sqrt{0.22996598}$

Schritt 10

$x = \sqrt{0.22996598}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{0.22996598}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{0.22996598}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{0.22996598}$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 {(\sqrt{0.22996598})}^{5} - 2 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - (\sqrt{0.22996598})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{0.22996598}}^{5}$ als $\sqrt{{0.22996598}^{5}}$ um.

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{{0.22996598}^{5}} - 2 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - (\sqrt{0.22996598})$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $0.22996598$ mit $5$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - (\sqrt{0.22996598})$

Schritt 11.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ als $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ um.

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{{0.22996598}^{3}} - (\sqrt{0.22996598})$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $0.22996598$ mit $3$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598}$ .

$y = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{0.22996598}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$180 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.22996598}$ an.

$180 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 13.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$180 (- {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 13.3

Schreibe ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ als $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ um.

$180 (- \sqrt{{0.22996598}^{3}}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 13.4

Potenziere $0.22996598$ mit $3$ .

$180 (- \sqrt{0.0121616}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $180$ .

$- 180 \sqrt{0.0121616} - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$- 180 \sqrt{0.0121616} + 12 \sqrt{0.22996598}$

Schritt 14

$x = - \sqrt{0.22996598}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{0.22996598}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{0.22996598}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{0.22996598}$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 {(- \sqrt{0.22996598})}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.22996598}$ an.

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.22996598}}^{5}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 (- {\sqrt{0.22996598}}^{5}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{0.22996598}}^{5}$ als $\sqrt{{0.22996598}^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 (- \sqrt{{0.22996598}^{5}}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.4

Potenziere $0.22996598$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 (- \sqrt{0.00064315}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.22996598}$ an.

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 (- {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.8

Schreibe ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ als $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 (- \sqrt{{0.22996598}^{3}}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.9

Potenziere $0.22996598$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 (- \sqrt{0.0121616}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} - (- \sqrt{0.22996598})$

Schritt 15.2.1.11

Multipliziere $- (- \sqrt{0.22996598})$ .

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Schritt 15.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + 1 \sqrt{0.22996598}$

Schritt 15.2.1.11.2

Mutltipliziere $\sqrt{0.22996598}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598}$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598}$ .

$y = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 9 x^{5} - 2 x^{3} - x$ .

$(\sqrt{0.22996598}, 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598})$ ist ein lokales Minimum

$(- \sqrt{0.22996598}, - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17