Analysis Beispiele

$f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$9 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 1.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 1.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 1.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 1.12

Addiere $1$ und $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (- \sin^{2} (x)) + 9 \cos^{2} (x)$

Schritt 1.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 \sin^{2} (x) + 9 \cos^{2} (x)$

Schritt 1.13.3

Schreibe $9 \cos^{2} (x)$ als ${(3 \cos (x))}^{2}$ um.

$- 9 \sin^{2} (x) + {(3 \cos (x))}^{2}$

Schritt 1.13.4

Schreibe $9 \sin^{2} (x)$ als ${(3 \sin (x))}^{2}$ um.

$- {(3 \sin (x))}^{2} + {(3 \cos (x))}^{2}$

Schritt 1.13.5

Stelle $- {(3 \sin (x))}^{2}$ und ${(3 \cos (x))}^{2}$ um.

${(3 \cos (x))}^{2} - {(3 \sin (x))}^{2}$

Schritt 1.13.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 \cos (x)$ und $b = 3 \sin (x)$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - (3 \sin (x)))$

Schritt 1.13.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.8

Multipliziere $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.13.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

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Schritt 1.13.9.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 \cos (x) (- 3 \sin (x))$ und $3 \sin (x) (3 \cos (x))$ neu an.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) - 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.9.2

Addiere $- 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ und $3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 0 + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.9.3

Addiere $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ und $0$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.13.10.1

Multipliziere $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ .

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Schritt 1.13.10.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.10.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.10.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.10.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.10.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Schritt 1.13.10.2

Multipliziere $3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

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Schritt 1.13.10.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin (x) \sin (x)$

Schritt 1.13.10.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 1.13.10.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 1.13.10.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 \cos^{2} (x) - 9 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.13.10.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Stelle die Faktoren von $- 18 \sin (x) \cos (x)$ um.

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $18 \cos (x) \sin (x)$ von $- 18 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 36 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $9$ aus $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 \cos^{2} (x)$ heraus.

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (x)$ heraus.

$9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$9 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$9 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 6

Setze $\cos (x) + \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x) + \sin (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) + \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.4

Separiere Brüche.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 6.2.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Schritt 6.2.8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 6.2.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 6.2.10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.10.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.11

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 6.2.12

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.12.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 6.2.12.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2.13

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Schritt 7

Setze $\cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\cos (x) - \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.3

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.6

Separiere Brüche.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 7.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 7.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Schritt 7.2.10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 7.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.11.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.11.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 7.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 7.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.13.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.14

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.15

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 7.2.15.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.15.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.15.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 7.2.15.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7.2.16

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 36 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 36 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 10.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 10.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 10.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 18 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 10.5

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 10.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 10.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 10.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$- 18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 \sqrt{2}$ heraus.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.8.4

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Schritt 10.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 10.10

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 10.11

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 10.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 10.13

Addiere $1$ und $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 10.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 10.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 10.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 10.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 10.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \cdot 2^{1}$

Schritt 10.14.5

Berechne den Exponenten.

$9 \cdot 2$

Schritt 10.15

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$18$

Schritt 11

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.2.2

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.2.4

Multipliziere $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.2.4.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.2.6

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4})$

Schritt 12.2.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 12.2.8

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.2.9

Multipliziere $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} (9 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.9.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 12.2.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 12.2.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 12.2.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 12.2.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 12.2.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 12.2.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 12.2.10.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 12.2.11

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Schritt 12.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Schritt 12.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Schritt 12.2.13

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 36 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 14.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 14.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 14.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.7.1

Faktorisiere $2$ aus $18 \sqrt{2}$ heraus.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 14.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 14.7.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 14.8

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 14.9

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 14.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 14.11

Addiere $1$ und $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 14.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.12.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 14.12.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 14.12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 14.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.12.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 14.12.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \cdot 2^{1}$

Schritt 14.12.5

Berechne den Exponenten.

$9 \cdot 2$

Schritt 14.13

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$18$

Schritt 15

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 16.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 16.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 16.2.4

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Schritt 16.2.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 16.2.6

Multipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 16.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 16.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 16.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 16.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 16.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 16.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 16.2.8

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Schritt 16.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Schritt 16.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Schritt 16.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 18.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18 \sqrt{2}$ heraus.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 18.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 18.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 18.5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 18.6

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 18.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 18.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 18.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 18.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 18.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 18.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 18.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Schritt 18.9.5

Berechne den Exponenten.

$- 9 \cdot 2$

Schritt 18.10

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$- 18$

Schritt 19

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 20.2.4

Multipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 20.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 20.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 20.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 20.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 20.2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 20.2.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 20.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 20.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 20.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 20.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 20.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 20.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 20.2.6

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{18}{4}$

Schritt 20.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 20.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Schritt 20.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 20.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 20.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9}{2}$

Schritt 20.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 36 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 22.1

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 22.5

$18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 22.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 22.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.7.2

Faktorisiere $2$ aus $18 \sqrt{2}$ heraus.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 22.7.4

Forme den Ausdruck um.

$9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Schritt 22.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 22.9

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 22.10

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 22.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 22.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 22.13

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 22.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 22.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 22.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 22.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 22.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Schritt 22.13.5

Berechne den Exponenten.

$- 9 \cdot 2$

Schritt 22.14

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$- 18$

Schritt 23

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 24.2.1

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 24.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 24.2.3

Multipliziere $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 24.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 24.2.3.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 24.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 24.2.5

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Schritt 24.2.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 24.2.7

Multipliziere $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 24.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 (\frac{9 \sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.7.2

Mutltipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 24.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 24.2.7.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 24.2.7.5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 24.2.7.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 24.2.7.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 24.2.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 24.2.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 24.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 24.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 24.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 24.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 24.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 24.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Schritt 24.2.9

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{18}{4}$

Schritt 24.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 24.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Schritt 24.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 24.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 24.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9}{2}$

Schritt 24.2.11

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Schritt 25

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \frac{9}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{9}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{π}{4}, \frac{9}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5 π}{4}, \frac{9}{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 26