Analysis Beispiele

$f (x) = 9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$0 - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 9 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 16$ .

$0 - 9 + 32 x^{- 3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$- 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $32$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 9 + \frac{32}{x^{3}}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{32}{x^{3}} - 9$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{3}} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 32 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 32 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = 32 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $32$ .

$f'' (x) = - 96 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 2.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 96 x^{- 4} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 96 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 96$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 96}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{96}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- \frac{96}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{32}{x^{3}} - 9 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 4.1.1.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$0 - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 9 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 4.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 4.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 4.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 4.1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 4.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 4.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 4.1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 16$ .

$0 - 9 + 32 x^{- 3}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$- 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kombiniere $32$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 9 + \frac{32}{x^{3}}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{32}{x^{3}} - 9$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{32}{x^{3}} - 9$ .

$\frac{32}{x^{3}} - 9$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{32}{x^{3}} - 9 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{32}{x^{3}} - 9 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{32}{x^{3}} = 9$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{32}{x^{3}} = 9$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{32}{x^{3}} = 9$ mit $x^{3}$ .

$\frac{32}{x^{3}} x^{3} = 9 x^{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32}{x^{3}} x^{3} = 9 x^{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$32 = 9 x^{3}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $9 x^{3} = 32$ um.

$9 x^{3} = 32$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{3} = 32$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{3} = 32$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{32}{9}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{32}{9}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{32}{9}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{\frac{32}{9}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{32}{9}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{32}{9}}$ als $\frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{9}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.2.1

Schreibe $32$ als $2^{3} \cdot 4$ um.

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{8 (4)}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 5.5.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 5.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{9}$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.5.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Schritt 5.5.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ als $9$ um.

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Schritt 5.5.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9}$ als $9^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.5.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.5.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.5.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Schritt 5.5.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Schritt 5.5.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ als $\sqrt[3]{9^{2}}$ um.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Schritt 5.5.4.5.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{81}}{9}$

Schritt 5.5.4.5.3

Schreibe $81$ als $3^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.4.5.3.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Schritt 5.5.4.5.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Schritt 5.5.4.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Schritt 5.5.4.5.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.5.4.5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{3}}{9}$

Schritt 5.5.4.5.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{6 \sqrt[3]{3 \cdot 4}}{9}$

Schritt 5.5.4.5.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \sqrt[3]{12}}{9}$

Schritt 5.5.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \sqrt[3]{12}$ heraus.

$x = \frac{3 (2 \sqrt[3]{12})}{9}$

Schritt 5.5.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = \frac{3 (2 \sqrt[3]{12})}{3 (3)}$

Schritt 5.5.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 (2 \sqrt[3]{12})}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.5.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{32}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{96}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ an.

$- \frac{96}{\frac{{(2 \sqrt[3]{12})}^{4}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{12}$ an.

$- \frac{96}{\frac{2^{4} {\sqrt[3]{12}}^{4}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{96}{\frac{16 {\sqrt[3]{12}}^{4}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{4}$ als $\sqrt[3]{12^{4}}$ um.

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{12^{4}}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2.4

Potenziere $12$ mit $4$ .

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{20736}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2.5

Schreibe $20736$ als $12^{3} \cdot 12$ um.

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Schritt 9.1.2.5.1

Faktorisiere $1728$ aus $20736$ heraus.

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{1728 (12)}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2.5.2

Schreibe $1728$ als $12^{3}$ um.

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{12^{3} \cdot 12}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{96}{\frac{16 \cdot 12 \sqrt[3]{12}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.2.7

Mutltipliziere $16$ mit $12$ .

$- \frac{96}{\frac{192 \sqrt[3]{12}}{3^{4}}}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{96}{\frac{192 \sqrt[3]{12}}{81}}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $192$ und $81$ .

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $192 \sqrt[3]{12}$ heraus.

$- \frac{96}{\frac{3 (64 \sqrt[3]{12})}{81}}$

Schritt 9.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$- \frac{96}{\frac{3 (64 \sqrt[3]{12})}{3 (27)}}$

Schritt 9.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{96}{\frac{3 (64 \sqrt[3]{12})}{3 \cdot 27}}$

Schritt 9.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{96}{\frac{64 \sqrt[3]{12}}{27}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (96 \frac{27}{64 \sqrt[3]{12}})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $32$ aus $96$ heraus.

$- (32 (3) \frac{27}{64 \sqrt[3]{12}})$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $32$ aus $64 \sqrt[3]{12}$ heraus.

$- (32 (3) \frac{27}{32 (2 \sqrt[3]{12})})$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (32 \cdot 3 \frac{27}{32 (2 \sqrt[3]{12})})$

Schritt 9.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- (3 \frac{27}{2 \sqrt[3]{12}})$

Schritt 9.4

Kombiniere $3$ und $\frac{27}{2 \sqrt[3]{12}}$ .

$- \frac{3 \cdot 27}{2 \sqrt[3]{12}}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$- \frac{81}{2 \sqrt[3]{12}}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $\frac{81}{2 \sqrt[3]{12}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$- (\frac{81}{2 \sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}})$

Schritt 9.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.7.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.7.1.1

Mutltipliziere $\frac{81}{2 \sqrt[3]{12}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Schritt 9.7.1.2

Bewege $\sqrt[3]{12}$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

Schritt 9.7.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{12}$ mit $1$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{12}}^{1} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

Schritt 9.7.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

Schritt 9.7.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{12}}^{3}}$

Schritt 9.7.1.6

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ als $12$ um.

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Schritt 9.7.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{12}$ als $12^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 {(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 9.7.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 9.7.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.7.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.7.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.7.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{1}}$

Schritt 9.7.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12}$

Schritt 9.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $12$ .

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Schritt 9.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $81 {\sqrt[3]{12}}^{2}$ heraus.

$- \frac{3 (27 {\sqrt[3]{12}}^{2})}{2 \cdot 12}$

Schritt 9.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot 12$ heraus.

$- \frac{3 (27 {\sqrt[3]{12}}^{2})}{3 (2 \cdot 4)}$

Schritt 9.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (27 {\sqrt[3]{12}}^{2})}{3 (2 \cdot 4)}$

Schritt 9.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{27 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ als $\sqrt[3]{12^{2}}$ um.

$- \frac{27 \sqrt[3]{12^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.8.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$- \frac{27 \sqrt[3]{144}}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.8.3

Schreibe $144$ als $2^{3} \cdot 18$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.8.3.1

Faktorisiere $8$ aus $144$ heraus.

$- \frac{27 \sqrt[3]{8 (18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.8.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- \frac{27 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{27 \cdot 2 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.8.5

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$- \frac{54 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{54 \sqrt[3]{18}}{8}$

Schritt 9.9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $8$ .

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Schritt 9.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $54 \sqrt[3]{18}$ heraus.

$- \frac{2 (27 \sqrt[3]{18})}{8}$

Schritt 9.9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{2 (27 \sqrt[3]{18})}{2 (4)}$

Schritt 9.9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (27 \sqrt[3]{18})}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{27 \sqrt[3]{18}}{4}$

Schritt 10

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 9 \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3} - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 + 3 (- 3) (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 + 3 \cdot (- 3 \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 3 (2 \sqrt[3]{12}) - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{{(2 \sqrt[3]{12})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.3.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{12}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{2^{2} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ als $\sqrt[3]{12^{2}}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{12^{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2.4

Potenziere $12$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{144}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2.5

Schreibe $144$ als $2^{3} \cdot 18$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.3.2.5.1

Faktorisiere $8$ aus $144$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{8 (18)}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2.5.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \cdot (2 \sqrt[3]{18})}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{8 \sqrt[3]{18}}{3^{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{8 \sqrt[3]{18}}{9}}$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (16 (\frac{9}{8 \sqrt[3]{18}}))$

Schritt 11.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.5.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (8 (2) (\frac{9}{8 \sqrt[3]{18}}))$

Schritt 11.2.1.5.2

Faktorisiere $8$ aus $8 \sqrt[3]{18}$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (8 (2) (\frac{9}{8 (\sqrt[3]{18})}))$

Schritt 11.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (8 \cdot (2 (\frac{9}{8 \sqrt[3]{18}})))$

Schritt 11.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (2 (\frac{9}{\sqrt[3]{18}}))$

Schritt 11.2.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{9}{\sqrt[3]{18}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{2 \cdot 9}{\sqrt[3]{18}}$

Schritt 11.2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18}{\sqrt[3]{18}}$

Schritt 11.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{18}{\sqrt[3]{18}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (\frac{18}{\sqrt[3]{18}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{2}})$

Schritt 11.2.1.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{18}{\sqrt[3]{18}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{18}}^{2}}$

Schritt 11.2.1.9.2

Potenziere $\sqrt[3]{18}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{18}}^{2}}$

Schritt 11.2.1.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{1 + 2}}$

Schritt 11.2.1.9.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{3}}$

Schritt 11.2.1.9.5

Schreibe ${\sqrt[3]{18}}^{3}$ als $18$ um.

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Schritt 11.2.1.9.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{18}$ als $18^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{{(18^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.9.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 11.2.1.9.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 11.2.1.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.9.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 11.2.1.9.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18}$

Schritt 11.2.1.9.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18}$

Schritt 11.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18}$

Schritt 11.2.1.10.2

Dividiere ${\sqrt[3]{18}}^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - {\sqrt[3]{18}}^{2}$

Schritt 11.2.1.11

Schreibe ${\sqrt[3]{18}}^{2}$ als $\sqrt[3]{18^{2}}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{18^{2}}$

Schritt 11.2.1.12

Potenziere $18$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{324}$

Schritt 11.2.1.13

Schreibe $324$ als $3^{3} \cdot 12$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.13.1

Faktorisiere $27$ aus $324$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{27 (12)}$

Schritt 11.2.1.13.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{3^{3} \cdot 12}$

Schritt 11.2.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (3 \sqrt[3]{12})$

Schritt 11.2.1.15

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - 3 \sqrt[3]{12}$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt[3]{12}$ von $- 6 \sqrt[3]{12}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 9 \sqrt[3]{12}$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $9 - 9 \sqrt[3]{12}$ .

$y = 9 - 9 \sqrt[3]{12}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$ .

$(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}, 9 - 9 \sqrt[3]{12})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13