Analysis Beispiele

$f (x) = x - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Schritt 2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2}} + 1$