Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{3}{x}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{3}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 + 3 (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 x^{- 2}$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 3 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 3}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{3}{x^{2}} + 1$