Analysis Beispiele

$f (x) = x {(3 x - 9)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(3 x - 9)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{3}] + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 3 x - 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \cdot 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere ${(3 x - 9)}^{3}$ mit $1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere ${(3 x - 9)}^{2}$ aus $x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere ${(3 x - 9)}^{2}$ aus $x (9 {(3 x - 9)}^{2})$ heraus.

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere ${(3 x - 9)}^{2}$ aus ${(3 x - 9)}^{3}$ heraus.

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere ${(3 x - 9)}^{2}$ aus ${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$ heraus.

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9) + 3 x - 9)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (9 \cdot x + 3 x - 9)$

Schritt 4.2.2

Addiere $9 x$ und $3 x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (12 x - 9)$