Analysis Beispiele

$f (x) = x {(2 x - 5)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \cdot 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere ${(2 x - 5)}^{3}$ mit $1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus $x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus $x (6 {(2 x - 5)}^{2})$ heraus.

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus ${(2 x - 5)}^{3}$ heraus.

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus ${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$ heraus.

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6) + 2 x - 5)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (6 \cdot x + 2 x - 5)$

Schritt 4.2.2

Addiere $6 x$ und $2 x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (8 x - 5)$

Schritt 4.3

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$(2 x - 5) (2 x - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.4

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.5.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Schritt 4.5.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (8 x - 5)$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$

Schritt 4.6

Multipliziere $(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x \cdot x - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.6.1

Bewege $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $8$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 20$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.9

Mutltipliziere $8$ mit $25$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x + 25 \cdot - 5$

Schritt 4.7.10

Mutltipliziere $25$ mit $- 5$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Schritt 4.8

Subtrahiere $160 x^{2}$ von $- 20 x^{2}$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Schritt 4.9

Addiere $100 x$ und $200 x$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 300 x - 125$