Analysis Beispiele

$f (x) = x {(x - 15)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 15)}^{2}$ als $(x - 15) (x - 15)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((x - 15) (x - 15))]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 15) (x - 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 15) - 15 (x - 15))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 (x - 15))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 15$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 15$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 x - 15 x + 225)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $15 x$ von $- 15 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 30 x + 225)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 30 x + 225$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 30 x + 225] + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 30 x + 225$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.3

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 x$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 30$ mit $1$ .

$x (2 x - 30 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.6

Da $225$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $225$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (2 x - 30 + 0) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.7

Addiere $2 x - 30$ und $0$ .

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \cdot 1$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $x^{2} - 30 x + 225$ mit $1$ .

$x (2 x - 30) + x^{2} - 30 x + 225$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Schritt 6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Schritt 6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Schritt 6.2.5

Bringe $- 30$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 30 \cdot x + x^{2} - 30 x + 225$

Schritt 6.2.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 30 x - 30 x + 225$

Schritt 6.2.7

Subtrahiere $30 x$ von $- 30 x$ .

$3 x^{2} - 60 x + 225$