Analysis Beispiele

f (x) = \ln (\sec (x))

$f (x) = \ln (\sec (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ und

g (x) = \sec (x)

$g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

\sec (x)

$\sec (x)$ .

\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von

\ln (u)

$\ln (u)$ nach

u

$u$ ist

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ .

\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

\sec (x)

$\sec (x)$ .

\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2

Schreibe

\sec (x)

$\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch

\frac{1}{\cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 4

Mutltipliziere

\cos (x)

$\cos (x)$ mit

1

$1$ .

\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von

\sec (x)

$\sec (x)$ nach

x

$x$ ist

\sec (x) \tan (x)

$\sec (x) \tan (x)$ .

\cos (x) (\sec (x) \tan (x))

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1

Stelle

\cos (x)

$\cos (x)$ und

\sec (x)

$\sec (x)$ um.

\sec (x) \cos (x) \tan (x)

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Schritt 6.1.2

Schreibe

\cos (x) \sec (x)

$\cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Schritt 6.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

1 \tan (x)

$1 \tan (x)$

1 \tan (x)

$1 \tan (x)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere

\tan (x)

$\tan (x)$ mit

1

$1$ .

\tan (x)

$\tan (x)$

Schritt 6.3

Schreibe

\tan (x)

$\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4

Wandle von

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach

\tan (x)

$\tan (x)$ um.

\tan (x)

$\tan (x)$

\tan (x)

$\tan (x)$