Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (\tan (2 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (2 x)$ .

$\cos (\tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \cdot (\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $2 \cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ um.

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.2

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (2 x)}$ an.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{2}{\cos^{2} (2 x)}$ und $\cos (\tan (2 x))$ .

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos^{2} (2 x)}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{2} (2 x)$ heraus.

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x) \cos (2 x)}$

Schritt 4.8

Separiere Brüche.

$\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$

Schritt 4.9

Schreibe $\frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

Schritt 4.10

Schreibe $\cos (\tan (2 x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\frac{\cos (\tan (2 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Schritt 4.11

Vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Dividiere $\cos (\tan (2 x))$ durch $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

Schritt 4.11.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Schritt 4.12

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Schritt 4.13

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\frac{2}{1} \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Schritt 4.14

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Schritt 4.15

Multipliziere $2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$ .

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Schritt 4.15.1

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.15.2

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (2 x))$

Schritt 4.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$