Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (2 x) - \cos (2 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (2 x) - \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 \cos (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (2 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (2 x) - (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \sin (2 x)$