Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (\frac{π}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{π}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{x}$ .

$\cos (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{x}$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\cos (\frac{π}{x}) (π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (π (- x^{- 2}))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (π (- \frac{1}{x^{2}}))$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (- \frac{π}{x^{2}})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\cos (\frac{π}{x})$ und $\frac{π}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) π}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{\cos (\frac{π}{x}) π}{x^{2}}$ um.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x})}{x^{2}}$