Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x + y) - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos (x + y) - y$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$- y + \cos (x + y)$