Analysis Beispiele

$f (x) = arcsec (4 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arcsec (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4 x \sqrt{{(4 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{1}{4 x \sqrt{{(4 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $4 (x)$ an.

$\frac{1}{4 x \sqrt{4^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{4 x \sqrt{16 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x \sqrt{16 x^{2} - 1}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 x \sqrt{16 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{4}{4 x \sqrt{16 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 x \sqrt{16 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 1}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 1}}$