Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{4 x^{2} + 1}$