Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (3 x^{2} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (6 x + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (6 x)$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 \sin (3 x^{2} + 1) x$

Schritt 2.6.3

Stelle die Faktoren von $- 6 \sin (3 x^{2} + 1) x$ um.

$- 6 x \sin (3 x^{2} + 1)$