Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (\tan (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ um.

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

Schritt 3.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (\tan (x))$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Schritt 3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Schritt 3.5

Kombiniere $\sin (\tan (x))$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 3.7

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Schritt 3.9

Schreibe $\sin (\tan (x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Dividiere $\sin (\tan (x))$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Schritt 3.10.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Schritt 3.11

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- (\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Schritt 3.12

Multipliziere $\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

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Schritt 3.12.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec (x) \sin (\tan (x)))$

Schritt 3.12.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sin (\tan (x)))$

Schritt 3.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- ({\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Schritt 3.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (\sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$