Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- \sin (x) + 9 x^{- 4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + 9 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \sin (x) + \frac{9}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{9}{x^{4}} - \sin (x)$