Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{b}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x + a}{b}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{b}$ mit $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

Schritt 2.5

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x + a}{b}$ an.

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $b$ und $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $b$ und $b^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $b$ aus $b {(x + a)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $b$ aus $b^{2}$ heraus.

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Schritt 3.3.4

Um $b$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Schritt 3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Schritt 3.3.6

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Schritt 3.3.7

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Schritt 3.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Schritt 3.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Schritt 3.3.10

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ zu dividieren.

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$