Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\sqrt{\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}}$ als ${(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + \tan (x)$ und $g (x) = 1 - \tan (x)$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 10

Differenziere.

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Schritt 10.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 10.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 10.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 11

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 12

Differenziere.

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Schritt 12.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 12.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 12.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Schritt 12.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 12.5

Multipliziere.

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Schritt 12.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $1 + \tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Schritt 13

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 14.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - \tan (x))}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 \cdot {(1 - \tan (x))}^{2}} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} {(\frac{1 - \tan (x)}{1 + \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 15.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ an.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} {(\frac{1 - \tan (x)}{1 + \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 15.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - \tan (x)}{1 + \tan (x)}$ an.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6

Vereine die Terme

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Schritt 15.6.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ zu dividieren.

$1 \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.2

Mutltipliziere $\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.3

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.4

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.5

Addiere $\sec^{2} (x)$ und $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.6

Addiere $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ und $\tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{0 + 2 \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.7

Addiere $0$ und $2 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.6.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.9

Mutltipliziere $\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.10

Bringe ${(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{2} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.11

Multipliziere ${(1 - \tan (x))}^{2}$ mit ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.6.11.1

Bewege ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} ({(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{2})} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + 2}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.11.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.11.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.6.11.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.11.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.12

Mutltipliziere $\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.13

Multipliziere ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.6.13.1

Bewege ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.6.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.6.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1 + 1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.6.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.6.13.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{1} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.6.14

Vereinfache ${(1 + \tan (x))}^{1} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.6.15

Bringe ${(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.6.16.1

Multipliziere ${(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}$ mit ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.6.16.1.1

Bewege ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) ({(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 15.6.16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 15.6.16.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Schritt 15.6.16.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.6.16.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{1}}$

Schritt 15.6.16.2

Vereinfache $(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{1}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$