Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{5 - x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$ zu dividieren.

$1 \frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 - x$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 11.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 16

Multipliziere.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 18.2

Mutltipliziere $\frac{5 - x}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{(5 - x) ((5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{2}}$

Schritt 19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.1

Faktorisiere $5 - x$ aus $x^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{2}$ heraus.

$\frac{(5 - x) ((5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})}{(5 - x) (x^{\frac{1}{2}} (5 - x))}$

Schritt 19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 - x) ((5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})}{(5 - x) (x^{\frac{1}{2}} (5 - x))}$

Schritt 19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (5 - x)}$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (5 - x)}$

Schritt 20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.3.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.3.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 20.3.1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.2

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.3

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.5

Addiere $- x^{\frac{1}{2}}$ und $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Schritt 20.3.5.1

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $2$ um.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.3.5.2

Addiere $- x^{\frac{1}{2}}$ und $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.4

Vereine die Terme

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Schritt 20.4.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x)}$

Schritt 20.4.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Schritt 20.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 20.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Schritt 20.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Schritt 20.4.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Schritt 20.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot - 1}$

Schritt 20.4.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}$

Schritt 20.4.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.4.4

Schreibe $- 1 x^{\frac{3}{2}}$ als $- x^{\frac{3}{2}}$ um.

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.4.5

Mutltipliziere $\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.4.6

Kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 20.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{5 + 2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.10

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.4.10.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.10.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.10.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{5 + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.4.11

Vereinfache $x^{1}$ .

$\frac{5 + x}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 20.6.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $5 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 20.6.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $5 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 - x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 20.6.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}))}$

Schritt 20.6.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ heraus.

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (5 - x^{\frac{2}{2}}))}$

Schritt 20.6.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (5 - x^{1}))}$

Schritt 20.6.3

Vereinfache.

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (5 - x)}$

Schritt 20.6.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 20.6.4.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.6.4.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + 5}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5 - x)}$

Schritt 20.6.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (5 - x)}$

Schritt 20.6.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (5 - x)}$

Schritt 20.6.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x + 5}{2 x^{\frac{2}{2}} (5 - x)}$

Schritt 20.6.4.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x + 5}{2 x^{1} (5 - x)}$

Schritt 20.6.4.2

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$\frac{x + 5}{2 x (5 - x)}$