Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (2 x^{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2 x^{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 x^{3}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$\frac{2}{2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3}{x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{3}{x^{3}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Schritt 2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x}$