Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (16 \sin^{2} (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 16 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} (16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{16 \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Stelle die Faktoren von $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Schritt 7.2

Füge Klammern hinzu.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 7.3

Stelle $2 \csc^{2} (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ um.

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

Schritt 7.4

Füge Klammern hinzu.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

Schritt 7.5

Stelle $\cos (x)$ und $\sin (x) \cdot 2$ um.

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 7.6

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 7.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

Schritt 7.8

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 7.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.11

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.12

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x)$ und $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 7.13.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.13.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 7.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 7.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.14

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.15

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Schritt 7.16

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \cot (x)$