Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (1 + e^{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{1 + e^{x}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$