Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\ln (3 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (3 x)$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x}$ mit $\frac{1}{\ln (3 x)}$ .

$\frac{1}{3 x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x \ln (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x \ln (3 x)}$ .

$\frac{3}{3 x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x \ln (3 x)} \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x \ln (3 x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x \ln (3 x)}$