Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (5 x^{2} - 4 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x^{2} - 4 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + 0)$

Schritt 2.9

Addiere $10 x - 4$ und $0$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$ um.

$(10 x - 4) \frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $10 x - 4$ mit $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$ .

$\frac{10 x - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $10 x - 4$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 (5 x) - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (5 x) + 2 (- 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (- 2)$ heraus.

$\frac{2 (5 x - 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$