Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{0.00331}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $0.00331$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{0.00331}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}$ nach $t$ gleich $0.00331 \frac{d}{d t} [\frac{1}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}]$ .

$0.00331 \frac{d}{d t} [\frac{1}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}$ als ${(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 1}$ um.

$0.00331 \frac{d}{d t} [{(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ .

$0.00331 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0.00331 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ .

$0.00331 (- {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.00331$ .

$- 0.00331 ({(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [0.00331] + \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}]$ .

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [0.00331] + \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}])$

Schritt 3.3

Da $0.00331$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.00331$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}]$ .

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}]$

Schritt 3.5

Da $0.99669$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.99669 e^{- 3.8 t}$ nach $t$ gleich $0.99669 \frac{d}{d t} [e^{- 3.8 t}]$ .

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (0.99669 \frac{d}{d t} [e^{- 3.8 t}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $0.99669$ mit $- 0.00331$ .

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 3.8 t}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - 3.8 t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 3.8 t$ .

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 3.8 t])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 3.8 t])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 3.8 t$ .

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} \frac{d}{d t} [- 3.8 t])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 3.8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3.8 t$ nach $t$ gleich $- 3.8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} (- 3.8 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 3.8$ mit $- 0.00329904$ .

$0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} \cdot 1)$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $e^{- 3.8 t}$ mit $1$ .

$0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} e^{- 3.8 t}$

Schritt 5.4.2

Stelle die Faktoren von $0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} e^{- 3.8 t}$ um.

$0.01253636 e^{- 3.8 t} {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2}$