Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{t^{2}}{t - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t - 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(t - 1) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t - 1$ .

$\frac{2 \cdot (t - 1) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 1) t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $t^{2}$ von $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} - 2 t$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{t \cdot t - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $t$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot - 2$ heraus.

$\frac{t (t - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$