Analysis Beispiele

$g (u) = \sqrt{5} u + \sqrt{3 u}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{5} u + \sqrt{3 u}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [\sqrt{5} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt{5} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d u} [\sqrt{5} u]$ .

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Schritt 2.1

Da $\sqrt{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{5} u$ nach $u$ gleich $\sqrt{5} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\sqrt{5} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{5} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 u}$ als ${(3 u)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [{(3 u)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 u$ heraus.

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [{(3 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $3 (u)$ an.

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [3^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.4

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12

Kombiniere $3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{5} + \frac{3^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.13

Bringe $u^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{5} + \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{5}$