Analysis Beispiele

$g (x) = (2 - x) \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 - x$ und $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$(2 - x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$(2 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(2 - x) (2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$(2 - x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 - x$ .

$2 \cdot (2 - x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cdot - 1$

Schritt 5.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (x)$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \tan^{2} (x)$

Schritt 5.6.3

Schreibe $- 1 \tan^{2} (x)$ als $- \tan^{2} (x)$ um.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 2 + 2 (- x)) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 2 \tan (x) + 2 (- x) \tan (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 (- x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 (- x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 2 x \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)$