Analysis Beispiele

$h (x) = {(x^{4} - 1)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4} - 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 1$ .

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (4 x^{3})$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 {(x^{4} - 1)}^{2} x^{3}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $12 {(x^{4} - 1)}^{2} x^{3}$ um.

$12 x^{3} {(x^{4} - 1)}^{2}$